Es sei ${\displaystyle {}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}}$ der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungsring und sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl, die ${\displaystyle {}n}$ nicht teile. Es sei ${\displaystyle {}f}$ die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}p}$ in der Einheitengruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}p^{r}}$ genau dann die Norm eines Ideals

${\displaystyle {}R_{n}}$

${\displaystyle {}r}$

${\displaystyle {}f}$