Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper und sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.

1. Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}k}$ die (benachbarten) Einheitswurzeln

   ${\displaystyle \zeta ^{k},\zeta ^{k+1},\ldots ,\zeta ^{k+{\varphi (n)}-1}}$

   eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$.

2. Bilden die primitiven ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln stets eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$?