${\displaystyle X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }}$

ein Idealerzeuger des Ideals ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ist. Zunächst gehört

${\displaystyle {}X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }=X+{\mathrm {i} }(Y-1)\,}$

zum Ideal. Wegen

${\displaystyle {}1=X^{2}+Y^{2}=(X+{\mathrm {i} }Y)(X-{\mathrm {i} }Y)\,}$

sind ${\displaystyle {}X+{\mathrm {i} }Y}$ und ${\displaystyle {}X-{\mathrm {i} }Y}$ Einheiten. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }Y+{\mathrm {i} }\right)}&=X^{2}+2{\mathrm {i} }XY-Y^{2}+1\\&=2X^{2}+2{\mathrm {i} }XY\\&=2X{\left(X+{\mathrm {i} }Y\right)},\end{aligned}}}$

daher gehört ${\displaystyle {}X}$ zu ${\displaystyle {}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}}$. Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}&=X^{2}-Y^{2}-1+2{\mathrm {i} }XY-2{\mathrm {i} }X+2Y\\&=-2Y^{2}+2{\mathrm {i} }XY-2{\mathrm {i} }X+2Y\\&=2{\mathrm {i} }(X+{\mathrm {i} }Y)(Y-1)\end{aligned}}}$

gehört auch ${\displaystyle {}Y-1}$ dazu.