Wir betrachten den kommutativen Ring

${\displaystyle {}R={\mathbb {K} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\,}$

und darin das Ideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(X,Y-1)\,,}$

wobei ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ gleich ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ sei.

1. Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
2. Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.