Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

1. Für reelles ${\displaystyle {}z}$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
2. Es ist ${\displaystyle {}\vert {z}\vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}z=0}$ ist.
3. ${\displaystyle {}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert }$.
4. ${\displaystyle {}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \vert {w}\vert }$.
5. Für ${\displaystyle {}z\neq 0}$ ist ${\displaystyle {}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert }$.
6. ${\displaystyle {}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert }$.