Es sei ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}$ eine komplexe Zahl. Dann hat die komplexe Zahl

${\displaystyle u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\sigma {\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}}$

mit dem Vorzeichen

${\displaystyle \sigma ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}b\geq 0\\-1{\text{ falls }}b<0\,.\end{cases}}}$

die Eigenschaft

${\displaystyle u^{2}=z.}$

Insbesondere besitzt also ${\displaystyle {}z}$ zwei Quadratwurzeln, nämlich ${\displaystyle {}u}$ und ${\displaystyle {}-u}$, die bei ${\displaystyle {}z=0}$ zusammenfallen.

Wir zeigen dies für den Fall ${\displaystyle {}b\geq 0}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}u^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}+2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }b\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}$