Wir betrachten die Operation der ${\displaystyle {}r}$-ten komplexen Einheitswurzeln ${\displaystyle {}G=\mu _{r}{\left(\mathbb {C} \right)}}$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X]}$, dessen Fixring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X^{r}]}$ ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung ${\displaystyle {}r}$ und die zugehörige Operation auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X,Y]}$.

a) Zeige

${\displaystyle {}\mathbb {R} [\operatorname {Re} \,{\left(z^{r}\right)},\,\operatorname {Im} \,{\left(z^{r}\right)}]\subseteq \mathbb {R} [X,Y]^{G}\,.}$