(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes ${\displaystyle {}x\in G}$ der Automorphismus

${\displaystyle G\longrightarrow G,\,g\longmapsto xgx^{-1},}$

die Untergruppe ${\displaystyle {}K(G)}$ in sich selbst überführt. Für einen Kommutator ${\displaystyle {}aba^{-1}b^{-1}}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}xaba^{-1}b^{-1}x^{-1}&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xa^{-1}x^{-1}\right)}{\left(xb^{-1}x^{-1}\right)}\\&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xax^{-1}\right)}^{-1}{\left(xbx^{-1}\right)}^{-1}\end{aligned}}}$

wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist ${\displaystyle {}xK(G)x^{-1}\subseteq K(G)}$.
(2). In der Restklassengruppe ${\displaystyle {}G/K(G)}$ ist

${\displaystyle {}[a][b]=[a][b][b^{-1}a^{-1}ba]=[a][b][b^{-1}][a^{-1}][b][a]=[b][a]\,.}$

(3). Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sämtliche Kommutatoren trivial sind.