Es sei ${\displaystyle {}x\in R}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$. Wir betrachten die von ${\displaystyle {}x}$ erzeugte additive Untergruppe von ${\displaystyle {}R}$. Wegen ${\displaystyle {}x\neq 0}$ handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt ${\displaystyle {}x}$ schon ganz ${\displaystyle {}R}$. Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}nx=1\,.}$

${\displaystyle {}x}$