Nach Fakt  (9) ist ${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})}$ genau dann, wenn die Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, zusammen das Einheitsideal erzeugen. Das von der Familie erzeugte Ideal besteht aus allen endlichen Summen ${\displaystyle {}f_{1}+\cdots +f_{n}}$ mit ${\displaystyle {}f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}}$. Wenn also das Einheitsideal erzeugt wird, so bedeutet dies, dass es eine endliche Auswahl ${\displaystyle {}\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I}$ und Elemente ${\displaystyle {}f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}}$ mit ${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}f_{j}=1}$ gibt. Dann ist aber

${\displaystyle {}X=D(1)=\bigcup _{j=1}^{n}D(f_{j})=\bigcup _{j=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i_{j}})\,}$

und somit ist eine endliche überdeckende Teilfamilie gefunden.