Wir betrachten den (surjektiven) Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle R[X]\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}),\,X\longmapsto [r],}$

der ${\displaystyle {}X}$ auf die Restklasse zu ${\displaystyle {}r}$ abbildet. Dabei wird ${\displaystyle {}F_{0}=X-r}$ auf ${\displaystyle {}0}$ und die ${\displaystyle {}F_{i}}$, ${\displaystyle {}i\geq 1}$, werden auf ${\displaystyle {}G_{i}=0}$ abgebildet. Nach dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon R[X]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}).}$

Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Sei dazu

${\displaystyle {}P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}\in R[X]\,,}$

das unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet wird, d.h. es ist ${\displaystyle {}P(r)=a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}=0}$ in ${\displaystyle {}R/(G_{1},\ldots ,G_{n})}$, und das bedeutet

${\displaystyle {}a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}\in (G_{1},\ldots ,G_{n})\,}$

in ${\displaystyle {}R}$. Wir betrachten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}P-P(r)&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}-\sum _{i=0}^{n}a_{i}r^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}(X-r)H_{i},\end{aligned}}}$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in ${\displaystyle {}X^{i}-r^{i}}$ stets ${\displaystyle {}(X-r)}$ ausklammern kann. Somit ist

${\displaystyle {}P-P(r)\in (X-r)\,}$

und insgesamt

${\displaystyle {}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})\,.}$

Wegen den entsprechenden Gleichungen

${\displaystyle {}F_{i}-G_{i}=F_{i}-F_{i}(r)=(X-r)B_{i}\,}$

mit gewissen ${\displaystyle {}B_{i}}$ und somit ist

${\displaystyle {}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})=(X-r,F_{1},\ldots ,F_{n})={\mathfrak {a}}\,.}$