Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}M:={\left\{I\subseteq R\mid 1\not \in I,\,{\text{Ideal in }}R\right\}}\,.}$

Diese Menge enthält das Nullideal ${\displaystyle {}0}$ und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf ${\displaystyle {}M}$ (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei ${\displaystyle {}N\subseteq M}$ eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen

${\displaystyle {}I:=\bigcup _{J\in N}J\,.}$

Man zeigt nun, dass ${\displaystyle {}I}$ ein Ideal ist, das nicht die ${\displaystyle {}1}$ enthält. Also gehört es zu ${\displaystyle {}M}$ und es bildet eine obere Schranke für ${\displaystyle {}N}$. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in ${\displaystyle {}M}$, und dies sind maximale Ideale.