Sei ${\displaystyle {}X}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}C(X,\mathbb {R} )}$ der Ring der stetigen Funktionen von ${\displaystyle {}X}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Dann ist durch

${\displaystyle \varphi \colon C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\vert _{X},}$

ein Ringhomomorphismus gegeben.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann surjektiv ist, wenn ${\displaystyle {}X}$ abgeschlossen ist.
2. Für welche Mengen ${\displaystyle {}X}$ ist ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv?