Wenn die Äquivalenzrelation von einer Untergruppe ${\displaystyle {}H}$ herrührt, so folgt die Verträglichkeit direkt daraus, dass

${\displaystyle {}\mu -\nu ,\alpha -\beta \in H\,}$

direkt

${\displaystyle {}\mu +\alpha -(\nu +\beta )\in H\,}$

impliziert.

Sei umgekehrt eine verträgliche Äquivalenzrelation gegeben. Wir setzen

${\displaystyle {}H:={\left\{\nu \in M\mid \nu \sim 0\right\}}\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}\alpha -\beta \in H}$ ist, so ist ${\displaystyle {}\alpha -\beta \sim 0}$ und damit wegen der Verträglichkeit durch Addition mit ${\displaystyle {}\beta }$ auch ${\displaystyle {}\alpha \sim \beta }$. Wenn hingegen ${\displaystyle {}\alpha \sim \beta }$ gilt, so folgt durch Addition mit dem Negativen von ${\displaystyle {}\beta }$ wegen der Verträglichkeit auch

${\displaystyle {}\alpha -\beta \sim 0}$