${\displaystyle {}a_{n+1}>a_{n}\,,}$

wenn ${\displaystyle {}n+1}$ eine Primzahlpotenz ${\displaystyle {}p^{k}}$, ${\displaystyle {}k\geq 1}$, (${\displaystyle {}p}$ Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist ${\displaystyle {}14,15}$, die Antwort ist also ${\displaystyle {}13}$.

${\displaystyle {}n\geq 2}$

${\displaystyle {}a_{n}}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}n-1}$

${\displaystyle {}a_{n}}$

${\displaystyle {}n(n-1)}$

${\displaystyle {}a_{n}\geq n(n-1)\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {1}{a_{n}}}\leq {\frac {1}{n(n-1)}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}&\leq 1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\\&\leq 1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)^{2}}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.\end{aligned}}}$

Da die Kehrwerte der Quadratzahlen bekanntlich konvergieren, liegt nach dem Majorantenkriterium Konvergenz vor.