${\displaystyle {}{\sqrt {p}}^{2}=p\in \mathbb {Q} \,}$

ist ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]}$ eine quadratische Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$, also von ${\displaystyle {}L}$ verschieden.

${\displaystyle {}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}^{2}=p+q+2{\sqrt {pq}}\,.}$

Somit gehört auch ${\displaystyle {}{\sqrt {pq}}}$ zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Das Produkt

${\displaystyle {}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}{\sqrt {pq}}={\sqrt {p^{2}q}}+{\sqrt {pq^{2}}}=p{\sqrt {q}}+q{\sqrt {p}}\,}$

gehört ebenfalls dazu. Somit gehört auch

${\displaystyle {}q{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}-{\left(p{\sqrt {q}}+q{\sqrt {p}}\right)}=(q-p){\sqrt {q}}\,}$

dazu, also auch ${\displaystyle {}{\sqrt {q}}}$ und ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}}$. Somit ist die erzeugte Algebra gleich ${\displaystyle {}L}$ und es liegt ein Algebraerzeuger vor.

${\displaystyle {}{\sqrt {pq}}^{2}=pq\in \mathbb {Q} \,}$

ist ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {pq}}]}$ eine quadratische Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$, also von ${\displaystyle {}L}$ verschieden.

${\displaystyle {}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}\right)}^{2}=p+pq+2p{\sqrt {q}}\,.}$

Somit gehört auch ${\displaystyle {}{\sqrt {q}}}$ zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Somit gehört auch das Produkt

${\displaystyle {}{\sqrt {q}}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}\right)}={\sqrt {pq}}+q{\sqrt {p}}\,}$

dazu. Somit gehört auch

${\displaystyle {}{\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}-{\left({\sqrt {pq}}+q{\sqrt {p}}\right)}=(1-q){\sqrt {p}}\,}$

und auch ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}}$ dazu. Also ist die erzeugte Algebra gleich ${\displaystyle {}L}$ und es liegt ein Algebraerzeuger vor.