Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$ . Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit dem Negativen von $a0$ ) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.
${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$
nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das
(eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$ . Die zweite Gleichheit folgt analog.
Nach (2) ist ${}(-(-a))b=(-a)(-b)$ und wegen ${}-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$ . Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach der Annullationsregel
${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$
so dass sich der Widerspruch ${}0=1$ ergibt.
Dies folgt aus einer Doppelinduktion, siehe Aufgabe.

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