Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei ${\displaystyle {}\zeta \in K}$ eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel. Dies definiert einen Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Q} [X]/(X^{n}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .}$

Somit gibt es nach Fakt einen induzierten Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{d}\right)}\longrightarrow K}$

mit einem Teiler ${\displaystyle {}d}$ von ${\displaystyle {}n}$. Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Q} [X]/(X^{d}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .}$

Bei ${\displaystyle {}d<n}$ ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von ${\displaystyle {}\zeta }$. Also ist ${\displaystyle {}d=n}$ und es gibt einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}\longrightarrow K.}$