{{ Mathematischer Text/Beweis |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die ${\displaystyle {}R}$-lineare Abbildung

${\displaystyle A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto da,}$

kann man auf das Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq A}$ einschränken. Durch Tensorieren mit ${\displaystyle {}A/I}$ erhält man unter Verwendung von Fakt  (2) die ${\displaystyle {}A/I}$-lineare Abbildung

${\displaystyle I/I^{2}\cong I\otimes _{A}A/I\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A/I.}$

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der ${\displaystyle {}B}$-Modul {{mathl|term=\Omega_{B {{|}} R} |SZ=}} von den ${\displaystyle {}db}$, ${\displaystyle {}b\in B}$, erzeugt wird und diese von ${\displaystyle {}da}$, ${\displaystyle {}a\in A}$ herrühren. Ein Element ${\displaystyle {}a\in I}$ geht auf ${\displaystyle {}da}$ und damit auf ${\displaystyle {}0}$ in {{mathl|term=\Omega_{B {{|}} R} |SZ=,}} da das Element ${\displaystyle {}a}$ in ${\displaystyle {}B}$ selbst ${\displaystyle {}0}$ wird.

Es sei nun

${\displaystyle {}\omega \in \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\,}$

ein Element, das in ${\displaystyle {}\Omega _{B{|}R}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abbildet. Wir können

${\displaystyle {}\omega =\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes b_{i}=\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes {\overline {c}}_{i}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i},c_{i}\in A}$ schreiben. Da es auf ${\displaystyle {}0}$ in {{mathl|term=\Omega_{B {{|}} R} |SZ=}} abbildet, gilt in dem von den Symbolden ${\displaystyle {}db}$, ${\displaystyle {}b\in B}$, erzeugten freien ${\displaystyle {}B}$-Modul die Beziehung

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}h_{j}\in B}$ und die ${\displaystyle {}\omega _{j}}$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich ${\displaystyle {}dfg=fdg+gdf}$ mit ${\displaystyle {}f,g\in B}$ oder gleich ${\displaystyle {}d(rf+sg)=rdf+sdg}$ mit ${\displaystyle {}r,s\in R}$ und ${\displaystyle {}f,g\in B}$ ist. Der angesprochene freie ${\displaystyle {}B}$-Modul entsteht aus dem durch die ${\displaystyle {}da}$, ${\displaystyle {}a\in A}$, erzeugten freien ${\displaystyle {}A}$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus ${\displaystyle {}I}$ und die ${\displaystyle {}dI}$ zu ${\displaystyle {}0}$ macht. Somit gilt in diesem freien ${\displaystyle {}A}$-Modul

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}-\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}=\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}+du\,}$

mit ${\displaystyle {}m_{k}\in I}$, ${\displaystyle {}n_{k}\in B}$ und ${\displaystyle {}u\in I}$. In {{mathl|term=\Omega_{A {{|}} R} \otimes_{ R } B |SZ=}} wird ${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}}$ wegen der Tensorierung zu ${\displaystyle {}0}$ und daher gilt dort in der Tat

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=du\,.}$

|Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}