Wir beweisen den Zusatz durch Induktion über den Aufbau der Ausdrücke, woraus sich dann die Hauptaussage, die unabhängig von Belegungen ist, ergibt. Es sei ein Isomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

fixiert. Nach Fakt respektiert der Isomorphismus die Interpretation aller Terme. Da die Situation symmetrisch ist, müssen wir lediglich zeigen, dass aus der Gültigkeit von ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ die Gültigkeit von ${\displaystyle {}J\vDash \alpha }$ folgt. Für einen Ausdruck der Form

${\displaystyle {}s=t\,}$

mit Termen ${\displaystyle {}s,t}$ bedeutet

${\displaystyle I\vDash s=t}$

einfach

${\displaystyle {}I(s)=I(t)\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}J(s)=\varphi (I(s))=\varphi (I(t))=J(t)\,}$

und somit

${\displaystyle J\vDash s=t.}$

Für ein ${\displaystyle {}n}$-stelliges Relationssymbol ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}n}$ Terme ${\displaystyle {}t_{1},\ldots ,t_{n}}$ bedeutet

${\displaystyle I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n},}$

dass ${\displaystyle {}R^{M}}$ auf ${\displaystyle {}\left(I(t_{1}),\,\ldots ,\,I(t_{n})\right)}$ zutrifft. Dann trifft aufgrund der Homomorphie von ${\displaystyle {}\varphi }$ auch ${\displaystyle {}R^{N}}$ auf

${\displaystyle {}\left(\varphi (I(t_{1})),\,\ldots ,\,\varphi (I(t_{n}))\right)=\left(J(t_{1}),\,\ldots ,\,J(t_{n})\right)\,}$

zu. Also ist

${\displaystyle J\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}.}$

Wir kommen zum Induktionsschluss. Bei ${\displaystyle {}\alpha =\neg \beta }$, ${\displaystyle {}\alpha =\beta \wedge \gamma }$ und ${\displaystyle {}\alpha =\beta \rightarrow \gamma }$ folgt die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung, wobei man bei der Negation und der Implikation verwendet, dass eine Äquivalenz bewiesen wird.

Für eine Existenzaussage ${\displaystyle {}\exists x\beta }$ bedeutet

${\displaystyle I\vDash \exists x\beta ,}$

dass es ein ${\displaystyle {}m\in M}$ derart gibt, dass

${\displaystyle I{\frac {m}{x}}\vDash \beta }$

gilt. Es sei

${\displaystyle {}n=\varphi (m)\,.}$

Nach der Induktionsvoraussetzung, angewendet auf ${\displaystyle {}\beta }$ und die Interpretation ${\displaystyle {}J{\frac {n}{x}}}$, die zu ${\displaystyle {}I{\frac {m}{x}}}$ in der gleichen Beziehung steht wie ${\displaystyle {}J}$ zu ${\displaystyle {}I}$ (d.h. die Variablenbelegungen sind durch ${\displaystyle {}\varphi }$ miteinander verbunden) gilt

${\displaystyle J{\frac {n}{x}}\vDash \beta .}$

Dies impliziert

${\displaystyle J\vDash \exists x\beta .}$