Sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper und sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge aller Intervallschachtelungen auf ${\displaystyle {}K}$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen ${\displaystyle {}I_{n},\,n\in \mathbb {N} ,}$ und ${\displaystyle {}J_{n},\,n\in \mathbb {N} ,}$ zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}J_{n}\subseteq I_{m}}$ und zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}I_{k}\subseteq J_{n}}$.

1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ ist.
2. Sei ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$. Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.