Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

${\displaystyle {}{\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.}$

Dies schreiben wir als

${\displaystyle {}{\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.}$

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${\displaystyle {}{\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}}$ (es sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$) die Abschätzung

${\displaystyle {}a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.}$