Wegen ${\displaystyle {}1+{\frac {1}{n}}>1}$ ist klar, dass

${\displaystyle {}a_{n}<a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}=b_{n}\,}$

ist, so dass also wirklich Intervalle vorliegen.
Um zu zeigen, dass die Intervalle ineinander liegen, zeigen wir, dass die unteren Grenzen wachsend und die oberen Grenzen fallend sind. Wir betrachten zuerst ${\displaystyle {}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$. Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

${\displaystyle {}{\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.}$

Dies schreiben wir als

${\displaystyle {}{\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.}$

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${\displaystyle {}{\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}}$ (es sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$) die Abschätzung

${\displaystyle {}a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.}$

Für die oberen Intervallgrenzen ${\displaystyle {}b_{n}}$ ergibt die Bernoullische Ungleichung die Abschätzung

${\displaystyle {}{\left(1+{\frac {1}{n^{2}-1}}\right)}^{n}\geq 1+{\frac {n}{n^{2}-1}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\,.}$

Daraus folgt

${\displaystyle {}1+{\frac {1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\cdot {\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n}\left({\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}\,.}$

Durch beidseitige Multiplikation mit ${\displaystyle {}{\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}}$ ergibt sich

${\displaystyle {}b_{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n+1}\leq {\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}=b_{n-1}\,.}$

Wir betrachten schließlich die Intervalllängen. Diese sind

${\displaystyle {}b_{n}-a_{n}=a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}-a_{n}=a_{n}{\frac {1}{n}}\leq {\frac {b_{1}}{n}}\,}$

und konvergieren somit gegen ${\displaystyle {}0}$.
  Also liegt insgesamt eine Intervallschachtelung vor.