Es seien ${\displaystyle {}b>a>0}$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ durch ${\displaystyle {}x_{0}=a}$, ${\displaystyle {}y_{0}=b}$ und durch

${\displaystyle x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},}$

${\displaystyle y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}[x_{n},y_{n}]}$ eine Intervallschachtelung