Aufgrund der Differenzierbarkeit von ${\displaystyle {}f(t,x)}$ nach ${\displaystyle {}x}$ gibt es zu jedem ${\displaystyle {}(s,p)\in I\times J}$ nach Fakt eine in ${\displaystyle {}x}$ stetige Funktion ${\displaystyle {}r_{s}(x)}$ mit ${\displaystyle {}r_{s}(p)=0}$ und mit

${\displaystyle {}f(s,x)=f(s,p)+{\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\right)}(x-p)+r_{s}(x)(x-p)\,.}$

Wir setzen

${\displaystyle {}r(s,x)=r_{s}(x)\,.}$

Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen ${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}x}$ in jedem Punkt stetig ist. Bei ${\displaystyle {}x\neq p}$ kann man

${\displaystyle {}r(s,x)={\frac {f(s,x)-f(s,p)}{x-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\,}$

auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei ${\displaystyle {}x=p}$ verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Sei also ${\displaystyle {}\left(s_{n},\,x_{n}\right)}$ eine Folge, die gegen

${\displaystyle {}(s,x)=(s,p)\,}$

konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass ${\displaystyle {}x_{n}\neq p}$ für alle ${\displaystyle {}n}$ ist, da ja ${\displaystyle {}r(s_{n},p)=0}$ ist. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {r(s_{n},x_{n})-r(s,p)}\vert &=\vert {r(s_{n},x_{n})}\vert \\&=\vert {{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .\end{aligned}}}$

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem ${\displaystyle {}n}$ ein ${\displaystyle {}c_{n}\in [x_{n},p]}$ mit

${\displaystyle {}{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})\,}$

und somit ist der obige Ausdruck gleich

${\displaystyle \vert {{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .}$

Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen ${\displaystyle {}c_{n}\rightarrow p}$ wird dies beliebig klein.

In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über ${\displaystyle {}[a,b]}$ integrieren und erhält (${\displaystyle x-p}$ ist in der Integration konstant)

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t,x)dt=\int _{a}^{b}f(t,p)dt+(x-p){\left(\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(t,p)dt\right)}+(x-p)\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,.}$

Der Fehlerausdruck

${\displaystyle {}R(x)=\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,}$

ist stetig in ${\displaystyle {}x}$, da ${\displaystyle {}r(t,x)}$ stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist ${\displaystyle {}R(p)=\int _{a}^{b}r(t,p)=0}$, so dass die Funktion ${\displaystyle {}x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt}$ linear approximierbar und damit differenzierbar ist.