Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ Mengen und es sei

${\displaystyle F\colon M\longrightarrow N}$

eine Abbildung.

a) Sei ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ eine ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass das Mengensystem

${\displaystyle {\left\{T\subseteq N\mid F^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}}$

eine ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle {}N}$ ist.

b) Sei ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ eine ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle {}N}$. Zeige, dass das Mengensystem

${\displaystyle {\left\{F^{-1}(T)\mid T\in {\mathcal {B}}\right\}}}$

${\displaystyle {}\sigma }$

${\displaystyle {}M}$