Bei ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ ist

${\displaystyle {}R^{\times }=\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}\,.}$

Nach Fakt ist

${\displaystyle {}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left(2{\mathrm {i} }\right)}\cong R/{\left(2\right)}\,,}$

da ja ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ eine Einheit ist. Der Kählermodul besitzt die vier Elemente ${\displaystyle {}0,d{\mathrm {i} },{\mathrm {i} }d{\mathrm {i} },(1+{\mathrm {i} })d{\mathrm {i} }}$. Die logarithmische Abbildung bildet ${\displaystyle {}-1}$ auf ${\displaystyle {}0}$ (das gilt immer) und ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle {}-{\mathrm {i} }}$ auf ${\displaystyle {}-{\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }}$ ab.

Bei ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}]\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}}$ ist mit der primitivendritten Einheitswurzel

${\displaystyle {}\zeta ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\,}$

ist die Einheitengruppe gleich

${\displaystyle {}R^{\times }=\{1,-1,\zeta ,-\zeta ,\zeta ^{2},-\zeta ^{2}\}\,.}$

Nach Fakt ist

${\displaystyle {}\Omega _{\mathbb {Z} [\zeta ]{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left({\sqrt {-3}}\right)}=R/{\left(2\zeta +1\right)}\,}$

mit den drei Elementen ${\displaystyle {}0,d\zeta =-2\zeta d\zeta =\zeta d\zeta ,2d\zeta }$. Unter der logarithmischen Abbildung geht ${\displaystyle {}1}$ auf ${\displaystyle {}0}$, ${\displaystyle {}\zeta }$ auf

${\displaystyle {}\zeta ^{-1}d\zeta =\zeta ^{2}d\zeta =-(\zeta +1)d\zeta =\zeta d\zeta =d\zeta \,}$

und demnach ${\displaystyle {}\zeta ^{2}}$ auf

${\displaystyle {}\zeta ^{-2}d\zeta ^{2}=2d\zeta \,.}$

Die negierten Einheiten haben das gleiche Bild.

Für alle anderen imaginär-quadratischen Zahlbereiche ist nach Fakt

${\displaystyle {}\{\pm 1\}}$

${\displaystyle {}0}$