Zum Beweis der Inklusion ${\displaystyle {}\subseteq }$ sei ${\displaystyle {}f\in (I+J)^{n}}$. Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass

${\displaystyle {}f=f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{k}\,,}$

wobei

${\displaystyle {}f_{\ell }=c_{\ell 1}\cdot c_{\ell 2}\cdots c_{\ell n}\,}$

mit ${\displaystyle {}c_{\ell r}\in I+J}$ ist. Dies bedeutet wiederum, dass

${\displaystyle {}c_{\ell r}=a_{\ell r}+b_{\ell r}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{\ell r}\in I}$ und ${\displaystyle {}b_{\ell r}\in J}$ ist. Somit ist

${\displaystyle {}f_{\ell }={\left(a_{\ell 1}+b_{\ell 1}\right)}{\left(a_{\ell 2}+b_{\ell 2}\right)}\cdots {\left(a_{\ell n}+b_{\ell n}\right)}\,.}$

Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit ${\displaystyle {}n}$ Faktoren, wobei ${\displaystyle {}s}$ Faktoren zu ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}n-s}$ Faktoren zu ${\displaystyle {}J}$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die ${\displaystyle {}f_{\ell }}$ und auch ${\displaystyle {}f}$.

Zum Beweis der Inklusion ${\displaystyle {}\supseteq }$ genügt es, die Inklusion ${\displaystyle {}I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{n}}$ für jedes ${\displaystyle {}s}$ zu zeigen. Wegen ${\displaystyle {}I,J\subseteq I+J}$ ist aber sofort

${\displaystyle {}I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{s}\cdot (I+J)^{n-s}=(I+J)^{n}\,.}$