Für ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} _{\geq 1}}$ mit ${\displaystyle {}n-1\leq x\leq n}$ ist ${\displaystyle {}{\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{n}}}$. Deshalb ist auf ${\displaystyle {}[1,m]}$ (mit ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$) diejenige Funktion, die auf dem ganzzahligen Intervall ${\displaystyle {}[n-1,n[}$ den Wert ${\displaystyle {}{\frac {1}{n}}}$ besitzt, eine untere Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}1/x}$. Das zugehörige Treppenintegral hat den Wert

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{m}}=\sum _{k=2}^{m}{\frac {1}{k}}\,}$

und damit ist diese Summe eine Untersumme

von ${\displaystyle {}1/x}$ auf ${\displaystyle {}[1,m]}$. Jede obere Schranke zu ${\displaystyle {}1/x}$ liegt oberhalb dieses Treppenintegrals. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es keine gemeinsame Schranke unabhängig von ${\displaystyle {}m}$.