Die beiden Polynome

${\displaystyle 3x^{2}-5x-2{\text{ und }}x^{3}-4x^{2}+x+6}$

haben beide für ${\displaystyle {}x=2}$ eine Nullstelle. Es ist also nicht von vornherein klar, ob der Limes

${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}}$

existiert und welchen Wert er besitzt. Aufgrund der Regel von l'Hospital kann man den Grenzwert über die Ableitungen bestimmen, und das ergibt

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {6x-5}{3x^{2}-8x+1}}={\frac {7}{-3}}=-{\frac {7}{3}}\,.}$