Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${\displaystyle {}n}$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

${\displaystyle {}y_{n}=ux_{n}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {d}{y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+{\frac {u^{2}c}{ux_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+u\cdot {\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot {\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot x_{n+1}.\end{aligned}}}$