Es sei ${\displaystyle {}c\in K_{+}}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\displaystyle {}{\sqrt {c}}}$ mit dem Startwert ${\displaystyle {}x_{0}\in K_{+}}$. Sei ${\displaystyle {}u\in K_{+}}$, ${\displaystyle {}d=c\cdot u^{2}}$, ${\displaystyle {}y_{0}=ux_{0}}$ und ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\displaystyle {}{\sqrt {d}}}$ mit dem Startwert ${\displaystyle {}y_{0}}$. Zeige

${\displaystyle {}y_{n}=ux_{n}\,}$

${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$