Wir führen Induktion über die Anzahl ${\displaystyle {}k}$ der verschiedenen Primfaktoren von ${\displaystyle {}g}$. Wenn ${\displaystyle {}g}$ eine Einheit ist oder nur ein Primfaktor (mit einem beliebigen Exponenten) vorkommt, ist nichts zu zeigen. Sei also ${\displaystyle {}k\geq 2}$ und die Aussage für kleinere ${\displaystyle {}k}$ schon bewiesen. Sei

${\displaystyle {}h=p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.}$

Da ${\displaystyle {}p_{1}^{r_{1}}}$ und ${\displaystyle {}h}$ teilerfremd sind, gibt es nach Fakt eine Darstellung der Form

${\displaystyle {}up_{1}^{r_{1}}+vh=1\,}$

mit ${\displaystyle {}u,v\in R}$. Division durch

${\displaystyle {}g=p_{1}^{r_{1}}h\,}$

ergibt

${\displaystyle {}{\frac {1}{g}}={\frac {v}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {u}{h}}\,.}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}f}$ liefert eine Darstellung der Form

${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {c}{h}}\,}$

und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${\displaystyle {}{\frac {c}{h}}}$ liefert das Resultat.