Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Sei also umgekehrt ${\displaystyle {}p}$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}p}$ das Produkt ${\displaystyle {}ab}$ teilt, sagen wir ${\displaystyle {}pc=ab}$. Nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}a}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist. Dann sind aber ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}p}$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette ${\displaystyle {}(p)\subset (p,a)=(d)\subset R}$ der Irreduzibilität von ${\displaystyle {}p}$ widerspricht. Damit teilt ${\displaystyle {}p}$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor ${\displaystyle {}b}$.