Sei

${\displaystyle {}n=\operatorname {ord} \,(G)=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,}$

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

${\displaystyle {}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (x):\,x\in G)\,.}$

Sei ${\displaystyle {}p_{i}}$ ein Primteiler von ${\displaystyle {}n}$. Wegen

${\displaystyle {}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} \,(G)\,}$

gibt es ein Element ${\displaystyle {}x\in G}$, dessen Ordnung ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p_{i}^{r_{i}}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von ${\displaystyle {}x}$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element ${\displaystyle {}x_{i}}$ der Ordnung ${\displaystyle {}p_{i}^{r_{i}}}$. Dann hat das Produkt ${\displaystyle {}x_{1}\cdots x_{k}\in G}$ nach Fakt die Ordnung ${\displaystyle {}n}$.