Die Linksmultiplikation ist eine Bijektion auf ${\displaystyle {}G}$, da aus ${\displaystyle {}gx=gy}$ durch Multiplikation von links mit ${\displaystyle {}g^{-1}}$ sofort ${\displaystyle {}x=y}$ folgt. Wegen ${\displaystyle {}ex=x}$ geht das neutrale Element auf die Identität. Ferner ist für jedes ${\displaystyle {}x\in G}$

${\displaystyle {}L_{g{\tilde {g}}}(x)=(g{\tilde {g}})x=g({\tilde {g}}x)=g(L_{\tilde {g}}(x))=L_{g}(L_{\tilde {g}}(x))=(L_{g}L_{\tilde {g}})(x)\,,}$

was ${\displaystyle {}L_{g{\tilde {g}}}=L_{g}L_{\tilde {g}}}$ bedeutet. Daher ist die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus. Zum Nachweis der Injektivität verwenden wir das Kernkriterium. Es sei also ${\displaystyle {}L_{g}=\operatorname {id} \,}$. Dann ist aber sofort

${\displaystyle {}g=ge=L_{g}(e)=\operatorname {id} \,(e)=e\,.}$