Sei ${\displaystyle {}g\in G}$ fixiert. Dass die Abbildung

${\displaystyle \varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},}$

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen ${\displaystyle {}\varphi _{g}(1)=g^{1}=g}$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G}$ durch ${\displaystyle {}\varphi (1)}$ eindeutig festgelegt, da ${\displaystyle {}\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}}$ für ${\displaystyle {}n}$ positiv und ${\displaystyle {}\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}}$ für ${\displaystyle {}n}$ negativ gelten muss.