(1) folgt aus Aufgabe, da ${\displaystyle {}K\setminus \{0\}}$ eine Gruppe ist. (2). Bei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus

${\displaystyle {}{\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1^{n}=1\,.}$

Daraus folgt auch die Aussage für negatives ${\displaystyle {}n}$. Für (3), (4) siehe Aufgabe.