Sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}G^{\vee }=\operatorname {Char} \,(G,K)}$ die Charaktergruppe zu ${\displaystyle {}G}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. ${\displaystyle {}G^{\vee }}$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ${\displaystyle {}G=G_{1}\times G_{2}}$ ist ${\displaystyle {}(G_{1}\times G_{2})^{\vee }=G_{1}^{\vee }\times G_{2}^{\vee }}$.