Es sei ${\displaystyle {}[a,+\infty [}$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und ${\displaystyle {}f,g\colon [a,+\infty [\rightarrow \mathbb {R} }$ seien Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)}$ existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten.

1. Die Summe ${\displaystyle {}f+g}$ besitzt einen Grenzwert für ${\displaystyle {}x\rightarrow +\infty }$, und zwar ist

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x).}$

2. Das Produkt ${\displaystyle {}f\cdot g}$ besitzt einen Grenzwert für ${\displaystyle {}x\rightarrow +\infty }$, und zwar ist

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x).}$

3. Es sei ${\displaystyle {}g(x)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle {}x\in [a,+\infty [}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)\neq 0}$. Dann besitzt der Quotient ${\displaystyle {}f/g}$ einen Grenzwert für ${\displaystyle {}x\rightarrow +\infty }$, und zwar ist

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)}}.}$