Es sei ${\displaystyle {}G=(V,E)}$ ein Graph.

1. Zeige, dass für ${\displaystyle {}x,y\in V}$ die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
   a) Es ist ${\displaystyle {}N(x)\subseteq N(y)}$.
   b) Für alle ${\displaystyle {}z\in V}$ folgt aus ${\displaystyle {}xz\in E}$ auch ${\displaystyle {}yz\in E}$.
   c) Die Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   mit

   ${\displaystyle {}\varphi (u)={\begin{cases}u\,,{\text{ für }}u\neq x\,,\\y\,,{\text{ für }}u=x\,,\end{cases}}\,}$

   ist ein Graphhomomorphismus.

2. Es sei ${\displaystyle {}xRy}$ die Relation aus (1). Welche Eigenschaften einer Ordnungsrelation erfüllt sie, welche nicht?