a) Es ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=1\,}$

und ebenso

${\displaystyle {}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}=1\,,}$

es ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial G_{1}}{\partial z}}=\sin \left(x+z\right)\,}$

und ebenso

${\displaystyle {}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x}}=\sin \left(x+z\right)\,,}$

und schließlich ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial G_{2}}{\partial z}}=0\,}$

und ebenso

${\displaystyle {}{\frac {\partial G_{3}}{\partial y}}=0\,,}$

die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.

b) Ein Potential zu ${\displaystyle {}G}$ ist

${\displaystyle {}f(x,y,z)=xy-\sin \left(x+z\right)+z^{2}\,,}$