Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf die Differentialgleichung

${\displaystyle {}y'=F(t,y)=ty\,}$

mit der Anfangsbedingung

${\displaystyle {}y(0)=1\,}$

an (die Lösung ist ${\displaystyle e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}}$). Daher ist ${\displaystyle {}\varphi _{0}=1}$. Die erste Iteration liefert

${\displaystyle {}\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.}$

Die zweite Iteration liefert

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}}$

Die dritte Iteration liefert

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}}$

Dabei stimmt die ${\displaystyle {}i}$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung ${\displaystyle {}2i}$ der Lösung überein.