Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge

${\displaystyle {}x_{k}=10^{-m}+10^{-2m}+\cdots +10^{-km}+=\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\,.}$

Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes

${\displaystyle {}{\begin{aligned}yx_{k}&={\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}10^{-jm}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{-jm+i}\right)}\\&=z_{m-1}10^{-1}+z_{m-2}10^{-2}+\cdots +z_{0}10^{-m}+z_{m-1}10^{-m-1}+z_{m-2}10^{-m-2}+\cdots +z_{0}10^{-2m}+\cdots +z_{m-1}10^{-(k-1)m-1}+z_{m-2}10^{-(k-1)m-2}+\cdots +z_{0}10^{-km}\end{aligned}}}$

Die Folge ${\displaystyle {}yx_{k}}$ konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen ${\displaystyle {}yx}$, wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl

${\displaystyle 0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{0}}}.}$