Wir haben

${\displaystyle {}(8-{\mathrm {i} })(8+{\mathrm {i} })=65=5\cdot 13\,.}$

Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest ${\displaystyle {}1}$ modulo ${\displaystyle {}4}$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist ${\displaystyle {}5=(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })}$ und ${\displaystyle {}13=(3+2{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })}$, und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}8-{\mathrm {i} }}$ muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von ${\displaystyle {}5}$ und einem Primfaktor von ${\displaystyle {}13}$ bestehen.

Die eine Möglichkeit ist

${\displaystyle {}(2+{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })=4+7{\mathrm {i} }\,,}$

die aber nicht zu ${\displaystyle {}8-{\mathrm {i} }}$ assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist

${\displaystyle {}(2+{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })=8-{\mathrm {i} }\,,}$