In der Ringerweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ ist ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ ganz über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, wie die Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}{\mathrm {i} }^{2}=-1\,}$

zeigt. Auch für ein beliebiges Element ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich

${\displaystyle {}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}^{2}-2a{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}+a^{2}+b^{2}=0\,.}$