Sei ${\displaystyle {}k}$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [k{\mathrm {i} }]={\left\{a+ck{\mathrm {i} }\mid a,c\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,.}$

Zeige die Isomorphie ${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+k^{2})}$ und dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ ganz

${\displaystyle {}R}$