${\displaystyle {}(a*b)*c=(10a+b)*c=10(10a+b)+c=100a+10b+c\,}$

und

${\displaystyle {}a*(b*c)=a*(10b+c)=10a+(10b+c)=10a+10b+c\,,}$

die Verknüpfung ist also nicht assoziativ.

${\displaystyle {}(a+b)*c=10(a+b)+c=10a+10b+c\,}$

und

${\displaystyle {}a*c+b*c=10a+c+10b+c=10a+10b+2c\,}$

sowie

${\displaystyle {}c*(a+b)=10c+(a+b)=10c+a+b\,}$

und

${\displaystyle {}c*a+c*b=10c+a+10c+b=20c+a+b\,,}$

die Distributivgesetze gelten also beide nicht.

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1^{[n]}*1&={\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}*1\\&=10\cdot {\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}+1\\&=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i+1}+1\\&=\sum _{j=0}^{n}10^{j}\\&=1^{[n+1]}.\end{aligned}}}$