Wir betrachten auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ die Verknüpfung

${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a*b:=10a+b.}$

1. Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
4. Gelten die Distributivgesetze

   ${\displaystyle {}(a+b)*c=a*c+b*c\,}$

   und

   ${\displaystyle {}c*(a+b)=c*a+c*b\,?}$

5. Es bezeichne nun zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ das Symbol ${\displaystyle {}1^{[n]}}$ diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus ${\displaystyle {}n}$ Einsen besteht. Zeige

   ${\displaystyle {}1^{[n]}*1=1^{[n+1]}\,.}$