Es sei ${\displaystyle {}T=[0,1]}$ und

${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n}.}$

Für jedes ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$, ${\displaystyle {}x<1}$, konvergiert die Folge ${\displaystyle {}{\left(x^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ und für ${\displaystyle {}x=1}$ liegt die konstante Folge zum Wert ${\displaystyle {}1}$ vor. Die Grenzfunktion ist also

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x<1\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}}$

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle ${\displaystyle {}f_{n}}$ stetig sind.